通过重组实现连通图划分的重配置

受选区操纵检测应用的启发，我们研究连通图 $G$ 上连通划分的重配置问题。$V(G)$ 的一个划分若每个部分导出连通子图，则称为\emph{连通}。在许多应用中，期望获得大小大致相同的部分，允许一定松弛度 $s$。\emph{带松弛 $s$ 的均衡连通 $k$ 划分}记为\emph{$(k,s)$-BCP}，是将 $V(G)$ 划分为 $k$ 个非空子集 $n_1,\ldots , n_k$ 且满足 $|n_i-n/k|\leq s$，每个子集导出连通子图（当 $s=0$ 时，$k$ 个部分完全均衡，简记为\emph{$k$-BCP}）。\emph{重组}是一种操作：取图 $G$ 的一个 $(k,s)$-BCP，合并两个相邻子图并重新划分，得到另一个。给定 $G$ 的两个 $k$-BCP $A$ 和 $B$ 以及松弛度 $s\geq 0$，我们欲确定是否存在一串重组，经由 $(k,s)$-BCP 将 $A$ 变为 $B$。我们得到关于此问题的四个结果：（1）当 $s$ 无界时，使用至多 $6(k-1)$ 次重组总可实现转换。（2）若 $G$ 为哈密顿图，对任意 $s \ge n/k$，使用 $O(kn)$ 次重组可实现转换；（3）对 $s \leq n/(3k)$ 给出否定实例。（4）当 $k \in O(n^{\varepsilon})$ 且 $s \in O(n^{1-\varepsilon})$（任意常数 $0 < \varepsilon \le 1$）时，即便在受限设定下（如 $G$ 为边极大平面图，或 $k=3$ 且 $G$ 为平面图），该问题也是PSPACE完全的。