k-连通图与 c-爪自由图的连通 k-划分

连通划分是将图的顶点划分为若干集合，使得每个集合诱导出连通子图。此类划分自然出现在许多应用领域，如道路网络与图像处理。我们考虑平衡连通划分（BCP），其中 BCP 的两个经典目标是最大化最小分量的权重，或最小化最大分量的权重。我们研究 c-爪自由图（即不包含 $K_{1,c}$ 作为诱导子图的图类）上的 BCP，并对两个目标均给出高效的 (c-1)-近似算法。特别地，由于线图的（3-）爪自由性，这也意味着对于一般图的 BCP 边划分版本存在 2-近似。在 20 世纪 70 年代，Győri 与 Lovász 证明了对于自然数 $w_1,\dots,w_k$（其中 $\sum_i w_i$ 为顶点总数），若 $G$ 是 k-连通的，则存在一个连通 k-划分，其各部分大小为 $w_1,\dots,w_k$。然而至今对于 k>4 仍不存在计算此类划分的多项式时间算法。为寻找这样的划分 $T_1,\dots, T_k$，我们展示了如何在温和假设（即每个 $w_i$ 大于最重顶点的权重）下高效计算至少近似满足目标权重的连通划分。特别地，我们对下界与上界版本均给出 3-近似，即分别保证每个 $T_i$ 的权重至少为 $\frac{w_i}{3}$，或每个 $T_i$ 的权重至多为 $3w_i$。此外，我们给出了双边有界版本，其产生的连通划分满足每个 $T_i$ 的大小至少为 $\frac{w_i}{3}$ 且至多为 $\max(\{r,3\}) w_i$，其中 $r \geq 1$ 为 $w_1, \dots, w_k$ 中最大值与最小值之比。特别地，对于平衡版本（即 $w_1=w_2=, \dots,=w_k$），这给出了满足 $\frac{1}{3}w_i \leq w(T_i) \leq 3w_i$ 的划分。