图划分为连通簇的 parameterized 复杂性

给定一个无向图 $G$ 和 $q$ 个整数 $n_1,n_2,n_3, \cdots, n_q$，平衡连通 $q$-划分问题（$BCP_q$）询问是否存在将 $G$ 的顶点集 $V$ 划分为 $q$ 个部分 $V_1,V_2,V_3,\cdots, V_q$ 的方式，使得对所有 $i\in[1,q]$，$|V_i|=n_i$ 且在 $V_i$ 上诱导的图是连通的。一个相关问题记为平衡连通 $q$-边划分问题（$BCEP_q$），定义如下。给定一个无向图 $G$ 和 $q$ 个整数 $n_1,n_2,n_3, \cdots, n_q$，$BCEP_q$ 询问是否存在将 $G$ 的边集划分为 $q$ 个部分 $E_1,E_2,E_3,\cdots, E_q$ 的方式，使得对所有 $i\in[1,q]$，$|E_i|=n_i$ 且在边集 $E_i$ 上诱导的图是连通的。此处我们研究 $q=2$ 时的这两个问题，并证明对 $q\geq 2$ 的 $BCP_q$ 是 $W[1]$-难的。我们还表明 $BCP_2$ 在平面图类上不太可能具有多项式核。至于正向结果，我们表明 $BCP_2$ 关于图的树宽是固定参数可处理的（FPT），这推广到平面图上的 FPT 算法。我们设计了另一个 FPT 算法以及单位圆盘图类上关于 $\min(n_1,n_2)$ 的多项式核。最后，我们证明与 $BCP_2$ 不同，$BCEP_2$ 关于 $\min(n_1,n_2)$ 是 FPT。