在亚二次时间内实现超度量嵌入的 $(1+\epsilon)$-\text{Approximation}

高效计算高维数据的准确表示是数据分析和无监督学习中的关键任务。层次图（也称为超度量）是广泛使用的表示方法，能保留数据中的层次关系。然而，诸如链层法等流行方法 suffer from 二次时间和空间复杂度，这使得它们在大规模数据集上难以实用。"最佳超度量嵌入"（即"最佳超度量拟合"）问题旨在寻找能最好保留原始数据点之间距离的超度量，已知其精确求解至少需要二次时间。近期研究致力于以亚二次时间近似最优解， resulting in 一个 $(\sqrt{2} + \epsilon)$-\text{Approximation}。本文提出了第一个实现任意精度近似的亚二次算法。具体而言，我们提供一个算法，对任意 $c \geq 1$，输出该最佳超度量的 $c$-\text{Approximation}，时间复杂度为 $\tilde{O}(n^{1 + 1/c})$。特别地，对于任意固定的 $\epsilon > 0$，该算法在时间 $\tilde{O}(n^{2 - \epsilon + o(\epsilon^2)})$ 下计算 $(1+\epsilon)$-\text{Approximation}。实验结果表明，我们的方法在近似质量方面优于以前的方法，同时保持了可 comparable 的运行时间。