无限乘积的实现、Ruelle 算子与小波滤波器

利用系统理论意义下的实现概念与工具，我们建立了一个显式且新的公式，用于实现单复变量的有理矩阵函数族的无限乘积。我们得到的这些无限乘积的实现具有以下四个特征：1) 我们的无限乘积实现是定义在无限维复域上的函数。2) 从单个有理矩阵函数 $M$ 的实现出发，我们证明了由 $M$ 得到的无限乘积实现采取一种（无限维）Toeplitz 算子的形式，其符号是 $M$ 初始实现的反射。3) 从有理矩阵函数的一个子类（包括对应于低通小波滤波器的标量值函数）出发，我们获得了相应的无限乘积，它们实现了 $\mathbf L_2(\mathbb R)$ 小波生成元的傅里叶变换。4) 我们利用 $M$ 的实现及其对应的无限乘积，构建了小波理论中使用的 Ruelle 转移算子的矩阵表示。此处所指的矩阵表示是指在该 Ruelle 转移算子下实现的倾斜（且稀疏）矩阵。