G_2 中共轭类的实性性质

设 $G$ 为域 $k$ 上的代数群。若 $g\in G(k)$ 在 $G(k)$ 中共轭于 $g^{-1}$，则称 $g$ 为**实**（real）元素。本文研究了特征不为 2 的域上 $G_2$ 型群的实性问题。设 $G$ 为 $k$ 上的此类群。我们讨论了半单元素和幂单元素的实性。我们证明了 $G(k)$ 中的半单元素是实的，当且仅当它是 $G(k)$ 中两个对合（involution）的乘积。$G(k)$ 中的每个幂单元素都是 $G(k)$ 中两个对合的乘积。我们讨论了特殊域上 $G_2$ 的实性，并构造了例子表明在 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}_p$ 上的 $G_2$ 中，半单元素的实性不成立。我们证明了对于满足 $cd(k)\leq 1$ 的域 $k$ 上的 $G_2$，其半单元素是实的。最后，我们给出了特征不为 2 或 3 的有限域 $k$ 上 $G_2$ 中非实元素的例子，这些元素既非半单也非幂单。