实数次数有界域上半单子群的共轭

设 $G$ 为特征为 0 的域 $k$ 上的线性代数群。我们证明 $G$ 的任意两个在 $k$ 的代数闭包上共轭的连通半单 $k$-子群，实际上在 $k$ 的有限域扩张上共轭，且该扩张的次数独立于这些子群而有界。此外，若 $k$ 为实数域，我们证明 $G$ 的任意两个在实数域 $\mathbb{R}$ 上共轭的连通半单 $k$-子群，实际上在 $k$ 的有限实扩张上共轭，且该扩张的次数独立于这些子群而有界。