黎曼 Xi 函数的实根类 Pólya 逼近

黎曼 $\Xi(z)$ 函数容许一个偶核 $\Phi(t)$ 的傅里叶变换。后者与 Jacobi theta 函数 $\theta(z)$（一个权重为 $1/2$ 的模形式）的导数相关。P\'olya 注意到当 $t\to\infty$ 时，$e^t$ 趋于 $e^t+ e^{-t}=2\cosh t$。然后他用仅含主导项的 $\Phi_{P}(t)$ 逼近核 $\Phi(t)$，并将 $\exp t,\exp(9t/4)$ 替换为 $2\cosh t,2\cos(9t/4)$。此过程抓住了核 $\Phi(t)$ 尾部（即 $t\to\infty$）几乎全部的贡献。我们意识到当 $t\to\infty$ 且 $0\leqslant b<1,c\in\R$ 时，$\cosh t+c \cosh(bt)$ 趋于 $\cosh t$。因此我们改进 P\'olya 的逼近，将 $\cosh(9t/4)$ 替换为 $\cosh(9t/4)+b\sum_{k=0}^{m-1}b_k \cosh(9kt/(4m))$ 并调整参数 $b,b_k,m$ 使得 (A) 逼近核 $\Phi_{S}(b,b_k,m;t)$ 在 $t\to\infty$ 时趋于 $\Phi(t)$；(B) $\Phi_{S}(b,b_k,m;t)$ 在 $t=0$ 处与 $\Phi(t)$ 恒等；(C) 如同 P\'olya 的情形，$\Phi_{S}(b,b_k,m;t)$ 的傅里叶变换仅有实零点。由于此过程也抓住了核 $\Phi(t)$ 头部（即靠近 $t=0$）几乎全部的贡献，我们能够锚定核 $\Phi(t)$ 的两端。