幂幺子群的实伴随轨道

设 $G$ 是一个线性李群，通过伴随作用作用于其李代数 $\mathfrak{g}$：$\mathrm{Ad}(g)X=gXg^{-1}$。若存在某个 $g\in G$ 使得 $-X = \mathrm{Ad}(g)X$，则称元素 $X\in \mathfrak {g}$ 为 $\mathrm{Ad}_G$-实的。若存在某个对合 $\tau\in G$ 使得 $-X = \mathrm{Ad}(\tau) X$，则称 $\mathrm{Ad}_G$-实元素 $X$ 为强 $\mathrm{Ad}_G$-实的。令 $K=\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{H}$。设 $\mathrm{U}_n(K)$ 为 $K$ 上幂幺上三角矩阵群。设 $\mathfrak{u}_n (K)$ 为 $\mathrm{U}_n(K)$ 的李代数，由所有对角元为 $0$ 的 $n \times n$ 上三角矩阵组成。在本文中，我们考虑来自李群 $\mathrm{U}_n(K)$ 在 $\mathfrak{u}_n(K)$ 上伴随作用的李代数 $\mathfrak{u}_n(K)$ 的 $\mathrm{Ad}$-实性。我们证明 $\mathfrak{u}_n (K)$ 中不存在非平凡的 $\mathrm{Ad}_{\mathrm{ U}_n(K)}$-实元素。我们还考虑了扩张群 $\mathrm{U}_n^\pm(K)$ 的伴随作用，该群由 $K$ 上所有对角元为 $1$ 或 $-1$ 的上三角矩阵组成，并构造了一大类 $\mathrm{Ad} _{\mathrm{ U}_n^\pm( K)}$-实元素。作为这些结果的应用，我们重新得到了这些群中关于经典实性的相关结果。