Lichnerowicz-York 方程的解读

James York 在对 André Lichnerowicz 工作的重大扩展中，展示了如何构造广义相对论约束方程的解。York 方法包括在给定流形上选择一个三维度规；一个相对于该度规无散度且无迹（TT）的对称二阶张量；以及一个单一数值，即外曲率的迹。随后可得到关于一个标量函数的拟线性椭圆方程，即 Lichnerowicz-York (L-Y) 方程。该方程的解被用作共形因子，将数据变换为满足约束的集合。如果流形是紧致且无边的，则会出现一个量，即物理空间的体积。本文将 L-Y 方程重新解释为本征值方程，以获得具有预设物理体积的数据集合。选择共形度规、TT 张量和物理体积，同时将外曲率的迹视为自由参数。所得方程具有极好的唯一性和存在性性质。一种更激进的方法是固定基（共形）度规、物理体积和迹。同时选择一个 TT 张量，但可以自由地将其乘以一个常数（未指定）。然后将 L-Y 方程作为该常数的本征值方程求解。第三种选择是固定 TT 张量并将基度规乘以一个常数。这三种表述均具有良好的唯一性和存在性性质。