Mukai-Umemura 变种上有理四次曲线

设 $X$ 为指数为1、度为22的Fano三维簇，且 $\mathrm{Pic}(X)\cong\mathbb{Z}$。这样的三维簇 $X$ 可通过在Grasmann variety $\mathrm{Gr}(3,V)$, $\dim V=7$ 上实现的 $(\bigwedge^2\mathcal{F}^{*})^{\oplus 3}$ 的正则零截面 $\mathbf{s}$ 来实现,其中 $\mathcal{F}$ 为普适子束。当截面 $\mathbf{s}$ 给定由 $\mathrm{SL}_2$-不变 skew 形式的网络时,我们称为Mukai-Umemura (MU) 变种。在本文中,我们证明了MU变种中有理四次曲线的Hilbert scheme是光滑的,并通过应用Bia{\l}ynicki-Birula定理计算其Poincaré多项式。