Fano 3-折、K3 曲面与分次环
代数几何
2007-05-23 v1
摘要
3-折的显式双有理几何代表了森理论(Mori theory)的第二阶段,超越了 1980 年代的基础性工作。本文是对 Fano 3-折(Q-Fano 3-折)显式分类的教程与通俗介绍,我们希望这一主题已接近完成。为了对代数几何初学者保持易读性,我们包含了曲线与 K3 曲面上分次环的初等计算实例。对我们而言,K3 曲面至多具有 Du Val 奇点,并由一个丰富 Weil 除子所极化;它们作为 Fano 3-折的一般大象而出现。论文的第二部分简要回顾了非奇异 Fano 3-折的经典理论以及 Mukai 对不可分解 Gorenstein Fano 3-折的推广。Takagi 在新加坡会议上勾画的想法将 g≥2 的 Q-Fano 3-折的研究归约为不可分解 Gorenstein Fano 3-折连同反射影(unprojection)数据。关于 Fano 3-折或 K3 曲面的反典则环的许多信息包含在其 Hilbert 级数中。Hilbert 函数由 orbifold Riemann–Roch 定理给出(见 Reid 的 Young Person's Guide);利用此,我们可以将 Hilbert 级数视为亏格与一篮循环商奇点的简单整理。已知数以百计的 K3 与 Fano 3-折族,其中大量具有 g≤0,而 Takagi 的方法不适用于这些。然而,在许多情形下,Hilbert 级数已给出如何通过双正则或双有理方法构造该簇的明确指示。论文最后一节介绍了 Magma 中的 K3 数据库,它可毫不费力地操作这些巨大列表。
引用
@article{arxiv.math/0202092,
title = {Fano 3-folds, K3 surfaces and graded rings},
author = {Selma Altınok and Gavin Brown and Miles Reid},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0202092},
year = {2007}
}
备注
29 pages, requires latest version of amsproc.cls