相依数据预测分布的收敛速度

本文研究如下类型的经验过程：$$C_n(B)=\sqrt{n}\{\mu_n(B)-P(X_{n+1}\in B\mid X_1,...,X_n)\},$$ 其中 $(X_n)$ 是一个随机变量序列，$\mu_n=(1/n)\sum_{i=1}^n\delta_{X_i}$ 是经验测度。给出了 $\sup_B|C_n(B)|$ 稳定收敛（特别是依分布收敛）的条件，其中 $B$ 取遍某个适当的可测集类。这些条件适用于 $(X_n)$ 是可交换的，或更一般地，条件同分布（在 Berti 等人 [Ann. Probab. 32 (2004) 2029--2052] 的意义下）的情形。通过这些条件，在一些相关情形下，可以得到 $\sup_B|C_n(B)|\stackrel{P}{\to}0$，甚至 $\sqrt{n}\sup_B|C_n(B)|$ 几乎必然收敛。这类结果在贝叶斯统计中很有用。