椭圆曲线秩与深度神经网络
数论
2022-09-27 v2
摘要
确定椭圆曲线 E/Q 的秩是一个困难问题，且在某些应用中（例如搜索高秩曲线时）不得不依赖旨在估计解析秩的启发式方法（在 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想下解析秩等于秩）。本文中，我们开发了由深度卷积神经网络（CNN）建模的秩分类启发式方法。与广泛使用的 Mestre-Nagao 和类似，它以 E 的导体以及一段归一化 a_p 序列（若 p 为良约化素数，则 a_p=p+1-#E(F_p)）为输入（范围 p<10^k，k=3,4,5），并尝试预测秩（或检测“高”秩曲线）。该模型在两类数据集上训练与测试：LMFDB，以及一个由平凡挠率、导体上限 10^30、秩上限 10 的椭圆曲线组成的自定义数据集。为比较，还开发了八个简单的 Mestre-Nagao 和神经网络模型。实验表明，在 LMFDB 数据集上 CNN 表现优于 Mestre-Nagao 和（有趣的是，以所有 Mestre-Nagao 和为输入的神经网络远优于单个和），而在自定义数据集上二者大致相当。
引用
@article{arxiv.2207.06699,
title = {Ranks of elliptic curves and deep neural networks},
author = {Matija Kazalicki and Domagoj Vlah},
journal= {arXiv preprint arXiv:2207.06699},
year = {2022}
}
备注
20 pages, 7 figures, references added, code link included