秩度量码及其对偶理论

我们比较了由 Delsarte 和 Gabidulin 提出的两种秩度量码对偶理论，证明了前者推广了后者。我们还给出了 Delsarte 秩度量码一般情形下 MacWilliams 恒等式的初等证明。我们推导出的恒等式非常易于处理，使我们能够以非常简洁的方式重新建立秩度量码理论的主要结果，这些结果最初由 Delsarte 利用结合方案与正则半格理论证明。我们还表明，我们的恒等式作为推论蕴含了 Delsarte 建立的原始 MacWilliams 恒等式。我们描述了秩度量码的最小秩和最大秩如何与其对偶码的最小秩和最大秩相关联，给出了一些界并刻画了达到这些界的码。随后，我们研究了秩度量中的最优反码，用最优码（即 MRD 码）来描述它们。特别地，我们证明了最优反码的对偶也是最优反码。最后，作为我们将结果应用于枚举组合学中一个经典问题的实例，我们推导出了有限域上具有给定秩和 $h$-迹的 $k \times m$ 矩阵数量的递归公式与显式公式。