有限域上 Theta 对应中的秩亏表示源于量子码

设 $V$ 为辛向量空间，$\mu$ 为 Sp(V) 的振荡子表示。自然地会问张量幂表示 $\mu^{\otimes t}$ 如何分解。若 $V$ 为实向量空间，则 Howe-Kashiwara-Vergne (HKV) 对偶断言 Sp(V) 的不可约子表示与正交群 O(t) 的不可约表示之间有一一对应。众所周知该对偶在有限域上不成立。针对此情形，Gurevich 与 Howe 近来为各 Sp(V) 表示赋予了一种秩的概念。他们证明，若限制注意力于极大秩的子表示，则 HKV 对偶的一个变体在有限域上仍成立。秩亏分支的性质则悬而未决。此处我们证明，所有秩亏 Sp(V)-子表示均源于将低阶张量积 $\mu$ 与 $\bar\mu$ 嵌入 $\mu^{\otimes t}$ 之中。这些嵌入所在的空间在量子信息论中作为自正交 Calderbank-Shor-Steane (CSS) 量子码的张量幂被研究过。我们进而发现 $\mu^{\otimes t}$ 的不可约 Sp(V) 子表示由作用于某些 r 维空间（r <= t）的正交群 O(r) 的不可约表示标记。结果在奇特征与“稳定范围” t <= 1/2 dim V 下成立。我们的工作对 Clifford 群的表示理论有意义，可视为已知 Clifford 群不变量依自对偶码刻画之结论的推广。