随机化 LU-Householder CholeskyQR

在本工作中，我们开发了随机化 LU-Householder CholeskyQR（rLHC），用于对高瘦矩阵进行 QR 分解，包括采用单 sketching 的 SLHC3 和采用多 sketching 的 SSLHC3。与 LU-CholeskyQR2（LUC2）类似，它们不需要对输入矩阵 $X \in \mathbb{R}^{m\times n}$ 的条件数 $\kappa_{2}(X)$ 加以限制，这确保了算法的适用性，并区别于许多 CholeskyQR 类算法。为解决 LUC2 在 LU 分解的 $L$ 因子病态时出现的数值崩溃问题，我们交替使用 HouseholderQR 生成上三角因子，并结合最新的矩阵 sketching 技术以保证效率。我们对新算法进行了舍入误差分析，并证明了其数值稳定性。数值实验表明，SLHC3 和 SSLHC3 在保持良好精度和鲁棒性的同时，相比现有算法具有更好的适用性。在效率方面，SLHC3 和 SSLHC3 与 LUC2 处于相似水平。当 $X$ 的 $m=\mathcal{O}(n^{2})$ 时，采用多 sketching 的 SSLHC3 比采用单 sketching 的 SLHC3 更高效。SLHC3 和 SSLHC3 在适用性、效率、精度和鲁棒性之间取得了平衡，成为 QR 分解的杰出算法。