随机 Householder QR 分解

本文引入了随机 Householder QR 分解（randomized Householder QR, RHQR）。该分解可用于获取向量空间的良好条件基，因而可在各种应用中使用。RHQR 对输入矩阵 W 的分解等价于对矩阵 $\Psi W$ 进行标准 Householder QR 分解，其中 $\Psi$ 为抽样矩阵，可来自任意子空间嵌入技术。因此，RHQR 分解也可从对抽样问题的 Householder QR 分解中重构，得到单同步随机 QR 分解（recRHQR）。在大多数情境下，左向 RHQR 每次迭代只需一次同步，计算复杂度为 Householder QR 的一半，与 Randomized Gram-Schmidt（RGS）的计算复杂度相近。我们讨论了在 Arnoldi 过程和 GMRES 中的 RHQR 的用法，从而表明它可用于求解线性方程组的 Krylov 子空间方法。基于 Charles Sheffield 将 Householder QR 与 Modified Gram-Schmidt（MGS）联系起来的观察，还推导出一种 BLAS2-RGS。有限精度分析表明，在温和的概率假设下，RHQR 对输入矩阵 W 的分解继承了 Householder QR 分解的稳定性，产生良好条件的基和列向后向稳定的分解，与输入 W 的条件数无关，并具有抽样步骤的精度。我们研究了子抽样随机哈达福变换（subsampled randomized Hadamard transform, SRHT）作为非常稳健的抽样技术。数值实验表明，RHQR 产生的基条件良好，其抽样在数值上正交，且即使对于最具挑战性的输入以及高维操作在半精度下也能实现精确分解。