基于多重草图化的随机Householder-Cholesky QR分解分析

CholeskyQR2和shifted CholeskyQR3是计算高瘦QR分解的两种最先进算法，因为它们在当前计算机架构上实现了高性能。然而，为保证稳定性，对某些应用，CholeskyQR2面临对底层待分解矩阵条件数的严苛限制。shifted CholeskyQR3稳定，但比CholeskyQR2多50%的计算和通信开销。本文提出并分析了一种称为随机Householder-Cholesky（\texttt{rand_cholQR}）的随机QR算法。使用一或两个随机草图矩阵，证明了以高概率，其正交误差被单位舍入误差量级的常数所界，故其稳定性与shifted CholeskyQR3相当。在NVIDIA A100 GPU上对\texttt{rand_cholQR}的性能评估表明，对于高瘦矩阵，带多个草图矩阵的\texttt{rand_cholQR}几乎与CholeskyQR2一样快，在某些情况下甚至更快。因此，与CholeskyQR2相比，\texttt{rand_cholQR}更稳定且几乎无额外计算或内存开销，因而是理论与实践中均更优的算法。