具有平方根边界的随机游走：精确边界 $g(t)=c\sqrt{t+b}-a$ 的情形

设 $S(n)$ 是一个实值随机游走，其独立同分布增量具有零均值和有限方差。我们感兴趣的是停时 $T(g):=\inf\{n\ge1: S(n)\le g(n)\}$ 的渐近性质，其中 $g(t)$ 是一个边界函数。在本文中，我们处理边界参数族 $\{g_{a,b}(t)=c\sqrt{t+b}-a, b\ge0, a>c\sqrt{b}\}$。首先，假设游走的增量具有足够多的有限矩，我们构造了一个正的空间-时间调和函数 $W(a,b)$。然后我们证明存在 $p(c)>0$ 和常数 $\varkappa(c)$，使得当 $n\to\infty$ 时，$\mathbf{P}(T_{g_{a,b}}>n)\sim \varkappa(c)\frac{W(a,b)}{n^{p(c)/2}}$。