在 $A_4$ 模对称性下具有共同模 $\tau$ 的夸克与轻子味

我们在 $A_4$ 模对称性下研究具有共同模 $\tau$ 的夸克与轻子质量矩阵。可行的夸克质量矩阵由权为 $2$、$4$ 和 $6$ 的模形式构成。值得注意的是，模 $\tau$ 接近于 $i$，而 $i$ 是 SL$(2,Z)$ 基本区域中的一个不动点，且 CP 对称性未被破坏。事实上，观测到的 CP 破坏在偏离 $\tau=i$ 少许的 $\tau$ 处被重现。带电轻子质量矩阵同样由权为 $2$、$4$ 和 $6$ 的模形式给出，其中已考察了五种情形。中微子质量矩阵通过 Weinberg 算子由权为 $4$ 的模形式生成。对于中微子质量的 NH（正常质量序），轻子质量矩阵在接近于 $i$ 的 $\tau$ 处也与观测到的混合角一致。夸克与轻子的 $\tau$ 允许区域在所有带电轻子质量矩阵情形下彼此重叠。然而，中微子质量之和对于检验夸克与轻子的共同 $\tau$ 至关重要。在共同 $\tau$ 处，中微子质量的最小和 $\sum m_i$ 为 $140$meV。在我们的框架中，中微子质量的倒质量序是不利的。我们强调，我们的结果暗示了夸克与轻子质量矩阵中的残余对称性 $\mathbb{Z}_2^{S}=\{ I, S \}$。