量子表示与纤维环索的单调表示

Andersen、Masbaum 与 Ueno 猜想，曲面映射类群的某些量子表示应将伪 Anosov 映射类映为无限阶元素（在足够大的能级 $r$ 下）。本文将该 AMU 猜想与关于双曲 3-流形的 Turaev-Viro 不变量 $TV_r$ 增长的一个问题相联系。我们证明，若纤维于圆上的双曲 3-流形 $M$ 的 $|TV_r(M)|$ 的 $r$-增长是指数的，则 $M$ 的纤维化的单调表示满足 AMU 猜想。基于早期工作 \cite{DK}，我们给出任意高亏格的（有向）双曲纤维环索的广泛构造，其 $SO(3)$-Turaev-Viro 不变量具有指数 $r$-增长。作为结果，对任意 $g>n\geqslant 2$，我们得到作用于亏格 $g$ 且有 $n$ 个边界分支的曲面上、满足 AMU 猜想的非共轭伪 Anosov 映射类的无穷族。我们还讨论了量子表示迹的整性性质，并回答了 Chen 与 Yang 关于环面环索的 Turaev-Viro 不变量的问题。