源于非半单范畴的 3-流形量子不变量

本综述涵盖了 Costantino、Geer 和 Patureau (https://arxiv.org/abs/1202.3553) 以及 Blanchet、Costantino、Geer 和 Patureau (https://arxiv.org/abs/1404.7289) 的论文中包含的部分结果。在第一篇论文中，作者利用 $\mathfrak{sl}_2$ 在 $2r$ 次单位根（其中 $r \geqslant 2$）下的量子版本表示的非半单范畴，构造了两族 Reshetikhin-Turaev 型 3-流形不变量 $\mathrm{N}_r$ 和 $\mathrm{N}^0_r$。次级不变量 $\mathrm{N}^0_r$ 推测性地扩展了原始的 Reshetikhin-Turaev 量子 $\mathfrak{sl}_2$ 不变量。作者还提供了一套机制，用以从可能缺乏半单性条件的更一般 ribbon 范畴中产生不变量。在第二篇论文中，$r \not\equiv 0 \; (\mathrm{mod} \; 4)$ 时 $\mathrm{N}_r$ 的重整化版本被扩展至 TQFT，并发现了其与 Alexander 多项式和 Reidemeister 挠等经典不变量之间的联系。特别地，研究表明使用更丰富的范畴是有回报的，因为这些非半单不变量严格优于原始的半单不变量：事实上，它们可用于恢复透镜空间的分类，而 Reshetikhin-Turaev 不变量并不总能区分它们。