倒置势阱的量子力学——具有虚本征值的厄米哈密顿量，量子-经典对应
量子物理
2025-05-06 v2
摘要
本文研究了一个粒子在倒置势阱中的量子化。其哈密顿量是厄米的，但势能下方无界。经典上，粒子从势顶中心加速远离。存在的本征态必然是不稳定的，具有虚本征值，这些虚本征值表征了态的衰减率。我们采用代数方法求解倒置势阱的哈密顿量问题，使用类似于正常谐振子情况的虚频率产生和湮灭玻色子算符。玻色子数算符是非厄米的，但其整数本征值自然是实数。需要分别用“左矢”和“右矢”表示的对偶本征集，它们分别对应于复共轭的数算符。“左矢”和“右矢”态之间存在正交归一条件。我们推导出一个空间非局域的生成函数，在坐标表象中，可以通过提升算符从该生成函数生成第 个本征函数。“左矢”和“右矢”生成函数通过虚数积分测度相互归一化。在“左矢”和“右矢”态之间定义的概率密度算符是非厄米不变量，它们分别导致“左矢”和“右矢”态的薛定谔方程。而“左矢”和“右矢”态自身的概率由于衰减并非守恒量。虚频率玻色子相干态被定义为湮灭算符的本征态。我们在相干态中明确证明了最小不确定关系。最后，相干态中海森堡方程的概率平均被证明与经典运动方程精确一致。量子-经典对应存在于这个虚本征值系统中。
引用
@article{arxiv.2505.00475,
title = {Quantum mechanics of inverted potential well -- Hermitian Hamiltonian with imaginary eigenvalues, quantum-classical correspondence},
author = {Ni Liu and J. -Q. Liang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.00475},
year = {2025}
}