量子图：$ \mathcal{PT} $-对称性与谱的反射对称性

考虑未必自伴的量子图——度量图上的微分算子。进一步假设底层度量图具有一个自同构（对称性）$\mathcal P$。如果微分算子是 $\mathcal P \mathcal T$-对称的，则其谱关于实线具有反射对称性。我们的目标是理解反向陈述是否成立，即量子图谱的反射对称性是否隐含底层度量图具有非平凡自同构且微分算子是 $\mathcal P \mathcal T$-对称的。我们通过考虑等边星图给出此问题的部分答案。具有 Robin 顶点条件的相应拉普拉斯算子拥有反射对称谱，当且仅当该算子是 $\mathcal P \mathcal T$-对称的且 $\mathcal P$ 为度量图的自同构。