统一 $\mathfrak{o}(4;\mathbb{C})$ 框架下 $D=4$ 欧几里得、洛伦兹、克莱因和四元数 $\mathfrak{o}^{\star}(4)$ 对称性的量子变形——补遗

在之前的论文中，我们获得了复 $D=4$ 欧几里得李对称 $\mathfrak{o}(4;\mathbb{C})$ 的非等价准三角量子变形的完整分类。结果以列表形式呈现，包含三个三参数、一个两参数和一个单参数非同构经典 $r$-矩阵，它们提供了 $\mathfrak{o}(4;\mathbb{C})$ 非等价量子化的“方向”。将实性条件应用于复 $\mathfrak{o}(4;\mathbb{C})$ $r$-矩阵，我们得到了 $\mathfrak{o}(4;\mathbb{C})$ 所有可能实形式的非同构经典 $r$-矩阵：欧几里得 $\mathfrak{o}(4)$、洛伦兹 $\mathfrak{o}(3,1)$、克莱因 $\mathfrak{o}(2,2)$ 和四元数 $\mathfrak{o}^{\star}(4)$ 李代数。对于 $\mathfrak{o}(4)$ 和 $\mathfrak{o}(3,1)$ 实对称性，这些 $r$-矩阵给出了非等价准三角量子变形的完整分类，然而对于 $\mathfrak{o}(2,2)$ 和 $\mathfrak{o}^{\star}(4)$ 分类尚不完整。在本文中，我们通过添加三个新的三参数 $\mathfrak{o}(2,2)$-实 $r$-矩阵和一个新的三参数 $\mathfrak{o}^{\star}(4)$-实 $r$-矩阵来完成这些分类。所有 $\mathfrak{o}(4;\mathbb{C})$ 实形式的非同构经典 $r$-矩阵都以显式形式给出，便于进行量子化。我们还将提及一些结果在时空对称性变形和弦 $\sigma$-模型中的应用。