常微分方程组的二次化：单项式与非单项式之比较

二次化是通过引入新变量，将右端为多项式的常微分方程组变换为右端至多二次的常微分方程组的变换。它近来被用作新型模型降阶方法的预处理步骤，因此保持新变量数量较少十分重要。已有若干算法被设计用于搜索新变量为原变量单项式的二次化。为理解此类算法的局限及潜在改进途径，我们研究如下问题：未必为单项式的新变量之二次化，能否产生维度远小于仅含单项式新变量二次化的模型？为此，我们将注意力限制在标量多项式 ODE 上。我们的第一个结果是：标量多项式 ODE $\dot{x}=p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0$（其中 $n\geqslant 5$ 且 $a_n\neq0$）可恰用一个新变量二次化，当且仅当存在 $a, b \in \mathbb{C}$ 使得 $p(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})=a_nx^n+ax^2+bx$。事实上，新变量可取为 $z:=(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})^{n-1}$。我们的第二个结果是：两个非单项式新变量足以二次化所有六次标量多项式 ODE。基于这些结果，我们观察到即便对标量 ODE，未必为单项式新变量的二次化也可能远小于单项式二次化。本文的主要结果是借助应用非线性代数（Gröbner 基）的计算方法发现的，我们描述了这些计算。