非线性有限维非自治动力系统的精确最优二次化

多项式与非多项式常微分方程组的二次化在系统理论、流体力学、化学反应建模与数学分析等诸多学科中具有优势。二次化揭示模型的新变量与结构，更易于分析、仿真、控制，并为学习提供便捷的参数化。本文提出针对非自治常微分方程的二次化的新理论、算法与软件能力。根据输入函数的正则性，我们给出可通过二次化获得二次-双线性系统的情况下的存在性结果。我们进一步给出存在性结果及一种算法，将二次化过程推广到任意维度且维度增长时保持非线性结构的系统。对此类系统，我们提供维度无关的二次化。半离散化偏微分方程即为一例，其非线性项在离散规模增大时保持符号一致。作为本研究实际采用的重要方面，我们将 QBee 软件的能力扩展至非自治常微分方程组与任意维度常微分方程。我们给出文献中曾报道的若干常微分方程例子，我们的新算法找到了比先前报道的提升变换维度更低的二次化常微分系统。我们进一步强调二次化的一个重要领域：降阶模型学习。该领域可显著受益于在最优提升变量下工作，其中二次模型提供模型的直接参数化，且避免非线性项的额外超降维。一个太阳风例子凸显了这些优势。