对称伪布尔函数的二次化

伪布尔函数是 $n$ 个二元变量的实值函数 $f(x)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$；即从 $\{0,1\}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射。对于 $\{0,1\}^n$ 上的伪布尔函数 $f(x)$，如果 $g(x,y)$ 是一个依赖于 $x$ 和 $m$ 个辅助二元变量 $y_1,y_2,\ldots,y_m$ 的二次多项式，使得对于所有 $x \in \{0,1\}^n$ 都有 $f(x)= \min \{g(x,y) : y \in \{0,1\}^m \}$，则称 $g(x,y)$ 为 $f$ 的二次化 (quadratization)。通过二次化，$f$ 的最小化问题被转化为二次函数 $g(x,y)$ 在其扩展变量集上的最小化问题。这具有一定的实际意义，因为二次函数的最小化在过去几十年中得到了深入研究，并且在精确或启发式求解此类问题方面取得了很大进展。一篇相关论文 \cite{ABCG} 启动了对任意函数 $f$ 的二次化中所需辅助 $y$ 变量最小数量的系统研究（这是一个自然的问题，因为最小化二次函数 $g(x,y)$ 的复杂度除其他因素外还取决于二元变量的数量）。在本文中，我们更精确地确定了对称伪布尔函数 $f(x)$ 的二次化所需的辅助变量数量，这类函数的值仅取决于输入 $x$ 的 Hamming 权重（等于 $1$ 的变量数量）。