幂次的二次序列与 Mohanty 猜想

我们在 Bombieri-Lang 曲面猜想下证明，对于非由等差数列整数平方构成的序列，具有常数二阶差分的整数平方序列的长度存在绝对上界。这回答了 J. Browkin 和 J. Brzezinski 于 2010 年提出、以及 E. Gonzalez-Jimenez 和 X. Xarles 独立提出的一个问题。我们还证明，在 Bombieri-Lang 曲面猜想下，对于每个 $k\geq 3$，由 $k$ 次幂构成的具有常数二阶差分的序列长度存在绝对上界。这给出了关于 Mordell 椭圆曲线 $y^2=x^3+b$ 中算术级数的 Mohanty 猜想之一的条件性结果。此外，我们获得了关于此类算术级数无限族的无条件结果。我们还研究了形如 $y^2=x^k+b$ 的超椭圆曲线的情形。这些结果是通过无条件地找出某些一般类型曲面上的所有亏格为 $0$ 或 $1$ 的曲线来证明的。此外，我们通过找出这些曲面上的所有低亏格曲线，证明了函数域上这些算术结果的无条件类似结论。