二次 Crofton 公式与尽可能少看到自身的集合

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$，并设 $\mathcal{L} \subset \Omega$ 为具有有限长度 $L =|\mathcal{L}|$ 的一维集合。我们关注一个能量泛函的极小元，该泛函度量集合在所有方向上投影到自身的大小：因此我们寻求尽可能少看到自身的集合（恰当理解）。该泛函的显然极小元是直线段的子集，但这仅在 $L \leq \mbox{diam}(\Omega)$ 时可能。该问题有一个等价表述：随机直线与 $\mathcal{L}$ 相交的期望次数仅依赖于 $\mathcal{L}$ 的长度（Crofton 公式）。我们关注使相交期望次数的方差最小的集合 $\mathcal{L}$。我们对凸 $\Omega$ 以及略少于一半的所有 $L$ 值解决了该问题：在那里，极小集合是边界副本与一条线段的并。