交叉网格上混合 Laplace 特征值问题的二次与三次 Lagrange 有限元

在文献 [6] 中已证明，交叉网格上的线性 Lagrange 元空间及其散度在应用于 Laplace 特征值问题的混合公式时，尽管在离散核上满足 inf-sup 条件和椭圆性，但仍会出现伪特征值。缺乏 Fortin 插值是线性 Lagrange 空间产生伪特征值的原因。相比之下，文献 [8] 的结果证实，在没有近奇异顶点的一般网格（包括作为特例的交叉网格）上，四次及更高阶的 Lagrange 元不会产生伪特征值。在本文中，我们研究了交叉网格上的二次和三次 Lagrange 元。通过将交叉网格上的 Lagrange 元嵌入到一个复形中并构造 Fortin 插值，我们证明了离散特征值的收敛性。作为副产品，我们为有限元 Stokes 复形构造了有界的交换投影，这导出了连续复形与离散复形上同调之间的同构。我们提供了数值算例以验证理论结果。