通过 $q$-二次微分构造 Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ 范畴的 $q$-稳定性条件

在范畴意义上，我们引入分级带标记曲面 $\mathbf{S}^\lambda$ 的 Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ 范畴 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$，作为 $\mathbf{S}^\lambda$ 的拓扑 Fukaya 范畴 $\mathcal{D}_\infty$ 的 $q$-变形。我们证明 $\mathcal{D}_\infty$ 可等同于与 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 相关的 cluster-$\mathbb{X}$ 范畴。在几何意义上，对于满足 $\operatorname{Re}(s)\gg1$ 的复参数 $s$，我们在对数曲面 $\operatorname{log}_{\mathbf{c}} \mathbf{S}_\vartriangle^\lambda$ 上构造 $q$-二次微分空间，并将其等同于 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上诱导的 $q$-稳定性条件空间。当 $s=N$ 为整数时，该结果给出 Bridgeland-Smith 通过 CY-$N$ 型二次微分实现轨道 Calabi-Yau-$N$ 范畴 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}\mathbin{/\mkern-6mu/}[\mathbb{X}-N]$