$q$-Fock 空间的 $q$-解析函数及其在 $L^{2}(\mathbb{C}; e^{-z\bar z} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)$ 中的实现

我们引入了基于几何定义的 $q$-解析性的 holomorpic 函数在 $\mathbb{C}$ 上的 Fock 空间的 $q$-变形。这种定义受到复杂微分几何中标准构造的启发。在此框架内，我们定义 $q$-解析单项式 $z_q^n$ 并构建其关联的 $q$-Fock 空间作为具有正交归一基 $\{z_q^n/\sqrt{[n]_q!]}\}_{n\ge 0}$ 的希尔伯特空间。显式计算了该空间的再现核，并引入 $q$-位置和 $q$-动量算子，满足 $q$-变形的易于关系。我们展示 $q$-单项式 $z_q^n$ 可以展开为复 Hermite 多项式，从而提供了将 $q$-Fock 空间实现为 $L^2(\mathbb{C}; e^{-|z|^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)$ 子空间的方法。最后，我们定义一个 $q$-Bargmann 变换，将合适的 $q$-Hermite 函数映射到我们的 $q$-Fock 空间中，并作为酉同构。我们的构造提供了几何和分析方法的 $q$-函数理论，补充了最近的算子论模型。