拼图、正性矩阵簇与格拉斯曼流的等变 K-理论

Vakil 以一种非常直接的方式研究了格拉斯曼流中 Schubert 簇的相交理论：他将 Schubert 簇 X_mu 与对偶 Schubert 簇 X^nu 的相交退化为带重复的并集 {X^lambda}。该退化分阶段进行，在此过程中他遇到了一族更复杂的子簇，并将其识别为某些局部闭集的闭包。我们证明了 Vakil 的簇是正性矩阵簇（positroid varieties），这特别表明它们是正规的、Cohen-Macaulay 的、具有有理奇点，并且由 Plücker 坐标的消失所定义 [Knutson-Lam-Speyer]。我们确定了与部分填充的“拼图”相关联的 Vakil 簇的方程（基于 [Vakil] 的附录），并推广了 Vakil 的证明，给出了 [Knutson-Tao '03] 中关于等变 Schubert 演算的拼图法则的几何证明。近期论文 [Anderson-Griffeth-Miller]（抽象地，未给出公式）确立了旗流形 G/P 的等变 K-理论中的三个正性结果。我们具体展示了其中之一，给出了相应的拼图法则。