纯对。VIII. 排除稀疏图

图 $G$ 中大小为 $t$ 的纯对是指一对不相交的 $t$ 顶点集合 $A,B$，使得 $A$ 与 $B$ 之间要么完全连接要么完全不连接。已知对每棵森林 $H$，每个不含 $H$ 或其补图作为诱导子图的 $n\ge2$ 顶点图都有大小为 $\Omega(n)$ 的纯对；此外，这仅在 $H$ 或其补图为森林时成立。在本文中，我们考察大小为 $n^{1-c}$ 的纯对，其中 $0<c<1$。设 $H$ 为一图：是否每个不含 $H$ 或其补图作为诱导子图的 $n\ge2$ 顶点图都有纯对 $A,B$ 满足 $|A|,|B|\ge \Omega(|G|^{1-c})$？答案与 $H$ 的拥塞度相关，即对所有含边的 $H$ 子图 $J$ 取 $1-(|J|-1)/|E(J)|$ 的最大值。（拥塞度非负，且恰在 $H$ 为森林时为零。）令 $d$ 为 $H$ 与 $\overline{H}$ 拥塞度的较小者。我们证明上述问题的答案在 $d\le c/(9+15c)$ 时为“是”，在 $d>c$ 时为“否”。