PTPI-DL-ROMs：用于非线性参数化偏微分方程的预训练物理信息深度学习降阶模型

本征正交分解 (POD) 与基于深度学习的降阶模型 (DL-ROMs) 的耦合已被证明是构建非侵入式、高精度代理模型以实时求解参数化非线性常微分方程的成功策略。得益于较低的复杂度，POD-DL-ROMs 不仅评估成本低廉，且训练速度相对较快。然而，POD-DL-ROMs 仅通过训练数据来体现控制当前问题的物理定律，而这些数据通常是通过依赖于底层方程高保真离散化的全阶模型 (FOM) 获得的。此外，POD-DL-ROMs 的准确性高度依赖于可用数据量。在本文中，我们考虑对 POD-DL-ROMs 进行一项重大扩展，即在训练过程中强制满足控制物理定律——即使其具备物理信息——以弥补可能存在稀缺和/或不可用数据的情况，并提高整体可靠性。为此，我们首先用主干网络架构补充 POD-DL-ROMs，赋予其在空间域任意点计算问题解的能力，最终通过强连续形式实现物理损失的无缝计算。然后，我们引入了一种高效的训练策略，以限制物理信息训练阶段带来的显著计算负担。具体而言，我们利用少量可用数据开发低成本的预训练程序；随后，我们对架构进行微调以进一步提升预测可靠性。随后在从非仿射参数化对流-扩散-反应方程到流体流动的 Navier-Stokes 方程等非线性问题的一系列测试用例上，评估了由此产生的预训练物理信息 DL-ROMs (PTPI-DL-ROMs) 的准确性和效率。