切范畴的伪极限及其在等变代数与微分几何中的应用

在本文中我们证明，若 $\mathscr{C}$ 是一个范畴，且 $F\colon\mathscr{C}^{\operatorname{op}} \to \mathfrak{Cat}$ 是一个伪函子，使得对 $\mathscr{C}$ 的每个对象 $X$，范畴 $F(X)$ 是一个切范畴，且对 $\mathscr{C}$ 的每个态射 $f$，函子 $F(f)$ 是强切态射 $(F(f),{}_{f}{\alpha})$ 的一部分，并且自然变换 ${}_{f}{\alpha}$ 在 $\mathscr{C}^{\operatorname{op}}$ 中伪自然变化，则在伪极限 $\mathbf{PC}(F)$ 上存在一个由范畴 $F(X)$ 上的切结构连同它们通过函子 $F(f)$ 的变化所诱导的切结构。我们利用这一观察说明遗忘 $2$-函子 $\operatorname{Forget}:\mathfrak{Tan} \to \mathfrak{Cat}$ 创建并保持由 $1$-范畴索引的伪极限。作为一个应用，这使我们能够描述等变下降如何与光滑（实）流形范畴及域上各类（代数）簇范畴上的切结构相互作用。