伪锥范畴与等变下降

在本专著中，我们对范畴的 $2$-范畴中伪函子 $F:\mathscr{C}^{op} \to \mathfrak{Cat}$ 的伪极限进行了深入且系统的研究，其中 $\mathscr{C}$ 是一个 $1$-范畴，并以此对表示理论、等变代数几何和等变代数拓扑中所使用的范畴理论进行明确而细致的研究，提供了一种统一语言来研究等变层、等变反常层及其等变导出范畴。我们展示了如何使用伪锥构造 $\mathsf{Bicat}(\mathscr{C}^{op},\mathfrak{Cat})(\operatorname{cnst}(1),F)$ 来导出 $F$ 的伪极限的范畴性质与同调性质。我们明确展示了 $F$ 的伪极限何时是完备的、余完备的、在 Lawvere 理论的模型上丰富的、（辫子）幺半的、正则的、三角剖分的、具有 $t$-结构等等。我们利用这些不同的结构结果，在几何和拓扑两种情形下，以及几何情形下的 $D_G^b(X;\overline{\mathbb{Q}}_{\ell})$，为等变导出范畴 $D_G^b(X)$ 给出了等变标准 $t$-结构与反常 $t$-结构以及等变六函子形式的新范畴理论证明与构造。我们还展示了在何种精确意义下，我们可以通过局部化的视角来观察等变导出范畴。在限制于群分解范畴的情形后，我们证明了自然同构 $\Theta:\alpha_X^{\ast} \Rightarrow \pi_2^{\ast}$ 的存在性，它满足上闭链条件 $d_1^{\ast}\Theta = d_2^{\ast}\Theta \circ d_0^{\ast}\Theta$ 的伪函子版本。我们还利用伪锥形式体系对群变更函子进行了深入分析。我们利用伪锥形式体系和 $\Theta$ 发展了等变迹的概念，着眼于 $p$-进群的表示理论。