证明连通 4-正则图中的哈密顿性质：一种基于 ILP 的方法

本文研究了与具有连通性性质 ${{\cal C}}$ 但不具有哈密顿性质 ${\cal H}$ 的 4-正则图的最小阶数 $f({\cal C},\lnot {\cal H})$ 相关的一些开放问题。具体而言，${\cal C}$ 为连通性、2-连通性或 1-韧性，${\cal H}$ 为哈密顿性、均匀可迹性或可迹性。文献中已使用标准理论方法研究这些问题，但未能确定 $f()$ 的精确值。此处我们选择使用整数线性规划（ILP），并将所求图编码为一组适当线性不等式的二进制解。这样，存在具有某些性质的 $n$ 阶图当且仅当相应的 ILP 有可行解，我们通过分支切割过程确定了该解。利用我们的方法，除 ${\cal C}=$1-韧性、${{\cal H}}=$可迹性外，我们已能计算出所有所考虑性质对的 $f({\cal C},\lnot {\cal H})$。即便在最后一种情况中，我们也显著缩小了已知 $f({\cal C},\lnot {\cal H})$ 所处区间 $[LB, UB]$ 的范围。最后，我们证明了对于每个 $n \geq f({\cal C},\lnot {\cal H})$（最后一种情况中 $n \geq UB$），都存在一个具有性质 ${\cal C}$ 但不具有性质 ${\cal H}$ 的 $n$ 顶点 4-正则图。