若干遍历性假设下多重相关序列的性质与大返回

我们证明，给定保测系统$(X,\mathcal{B},\mu,T_1,\dots,T_d)$，其中交换的遍历变换$T_i$满足对所有$i \neq j$有$T_iT_j^{-1}$遍历，则多重相关序列$a(n)=\int_X f_0 \cdot T_1^nf_1 \cdot \dotso \cdot T_d^n f_d \ d\mu$可分解为$a(n)=a_{\textrm{st}}(n)+a_{\textrm{er}}(n)$，其中$a_{\textrm{st}}$是$d$步零序列的一致极限，$a_{\textrm{er}}$是零序列（即$\lim_{N-M \to \infty} \frac{1}{N-M} \sum_{n=M}^{N-1} |a_{\textrm{er}}|^2=0$）。在对$T_1,\dots,T_d$的若干附加遍历条件下，我们对形如$a(n)=\int_X f_0 \cdot \prod_{i=1}^dT_i^{p_{i,1}(n)}f_1\cdot\dotso \cdot \prod_{i=1}^dT_i^{p_{i,k}(n)}f_k \ d\mu$的多项式多重相关序列也建立了类似分解，其中每个$p_{i,k}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$为多项式映射。我们还证明，当$d=2$时，若$T_1, T_2, T_1T_2^{-1}$可逆且遍历，则有大三重交：对所有$\varepsilon>0$及所有$A \in \mathcal{B}$，集合$\{n \in \mathbb{Z} : \mu(A \cap T_1^{-n}A \cap T_2^{-n}A)>\mu(A)^3-\varepsilon\}$是 syndetic 的。此外，我们证明若$T_1, T_2, T_1T_2^{-1}$完全遍历，并记$p_n$为第$n$个素数，则集合$\{n \in \mathbb{N} : \mu(A \cap T_1^{-(p_n-1)}A \cap T_2^{-(p_n-1)}A)>\mu(A)^3-\varepsilon\}$具有正下密度。