Bergelson-Host-Kra分解的谱细化与新的多重遍历定理

我们研究了保测系统 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ 的谱性质如何反映在由该系统产生的多重遍历平均中。对于某些序列 $a:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，我们给出了谱 $\sigma(T)$ 上的自然条件，使得对于所有 $f_1,\ldots,f_k\in L^\infty$，在 $L^2$-范数下有 \begin{equation*} \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \prod_{j=1}^k T^{ja(n)}f_j = \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \prod_{j=1}^k T^{jn}f_j \end{equation*} 特别地，我们的结果适用于无穷等差数列 $a(n)=qn+r$、Beatty序列 $a(n)=\lfloor \theta n+\gamma\rfloor$、无平方因子数序列 $a(n)=q_n$ 以及素数序列 $a(n)=p_n$。我们还通过Furstenberg对应原理得到了Szemerédi定理的一个新细化。勘误：论文中的定理7.1如所述是不正确的，该错误源于命题7.5的第(iii)部分，该部分从文献中的引用有误。在附带的勘误中，我们通过建立定理7.1的一个稍弱版本来修复此问题，并用它给出了定理4.2的新证明。这确保了我们主要文章中的所有主要结果仍然正确。我们感谢Zhengxing Lian和Jiahao Qiu指出这一错误。