Hardy 序列的半范数估计与成对独立 Hardy 序列的联合 ergodicity

我们发展了一套稳健的结构理论，用于研究Hardy序列上齐次变换的多个ergodic平均。随后我们将其应用于推导大量新颖的结果关于联合ergodicity、recurrence和收敛。特别是，我们证明了关于联合ergodicity的若干结果：(a)成对独立的Hardy序列和弱混合变换，(b)强独立的Hardy序列和ergodic变换，(c)强非 irrationally独立的Hardy序列和全 ergodic变换。我们利用这些联合ergodicity结果，为多维模式在强独立Hardy序列上的recurrence提供新的结果，例如，所有上密度为正的$\mathbb{Z}^2$子集包含形式为$$(m_1, m_2),\; (m_1 + \lfloor n^{\sqrt{2}}\rfloor, m_2),\; (m_1, m_2 + \lfloor n^{\sqrt{2}} + n^{1/2}\rfloor).$$ 最近， 我们正式解决了关于成对独立Hardy序列的联合ergodicity分类问题，其中的上述家族是特例。虽然我们的工作建立在最近的技术进展（例如PET系数跟踪方案和联合ergodicity准则）之上，我们自己的工作引入了诸多技术发展。我们构造了Host-Kra和盒子半范数的合适推广，以定量控制Hardy序列上的ergodic平均。随后我们利用它们获得Hardy序列上所有成对独立序列的Host-Kra半范数估计。此外，我们发展了ergodic版本的定量拼接论证，该论证最近在组合学、数论和调和分析中发现了广泛的应用。最后，我们获得Hardy序列的新的simultaneous Taylor近似，这是处理上述Hardy序列类的关键要素。