McIntosh关于Franel积分猜想的证明及两个推广

我们给出了 Richard McIntosh 于 1996 年提出的关于 Franel 积分值的猜想的证明，$$\int_0^1((ax))((bx))((cx))((ex))\,dx,$$ 其中 $((x))$ 为第一周期 Bernoulli 函数。其次，我们将思想推广，证明了关于 $$\int_0^1((a_1x))((a_2x))\cdots ((a_{n}x))\,dx$$ 的类似定理。最后，我们证明了进一步的推广，其中 $((x))$ 被任意具有奇指标的特定 Bernoulli 函数所替代。