几何结构的 prolongation、不变量与基本恒等式

在幂零几何框架下，我们给出几何结构等价问题的统一方案，其扩展并整合了 Cartan、Singer-Sternberg、Tanaka 与 Morimoto 的早期工作。通过给出高阶几何结构与泛帧丛的新表述，我们重构了 Singer-Sternberg 与 Tanaka 的步 prolongation。随后我们通过将正规几何结构的完全步 prolongation 的结构函数 $\gamma$ 展开为分量 $\gamma = \kappa + \tau + \sigma$ 来研究其，并为 $\kappa$、$\tau$、$\sigma$ 建立基本恒等式。这使我们能最一般地研究几何结构的等价问题，并将应用大幅扩展至未必具有 Cartan 联络的几何结构。其中，我们利用与几何结构符号相关联的广义 Spencer 上同调群，给出为任意常符号高阶正规几何结构构造完全不变量系统的算法。我们进而透彻讨论无穷型与有限型两种情形下几何结构的等价问题。我们还借助结构函数 $\tau$ 刻画了 Cartan 联络，并厘清 Cartan 联络在步 prolongation 视角中的位置。