长球算子与 Zeta

在本文中，我们描述了由 \cite{college98}、\cite{CMbook} 引入的长球算子的自伴扩张 W 的一个显著新性质。该算子到区间 J 的限制是众所周知的，其上的特征函数与 W 交换，具有离散正谱且已被充分理解。我们发现的是，W 到 J 的补集的限制除了上述正谱的副本外，还容许负特征值，其紫外行为再现了 Riemann zeta 函数零点平方的行为。此外，它们对应的特征函数属于 Sonin 空间。这一特征与 \cite{weilpos} 中 Weil 在阿基米德位的正性证明相吻合，后者使用了缩放作用到 Sonin 空间的压缩。作为副产品，我们构造了一族等谱的 Dirac 算子，其谱具有与 Riemann zeta 函数零点相同的紫外行为。