状态空间的投影极限 IV. 分形标记集

Kijowski [Kijowski 1977] 提出用一个较大希尔伯特空间来表示量子场论的状态空间，不如将量子态表示为在一组更小、更简单的希尔伯特空间上的密度矩阵的投影族。这样一来，可以避开为该理论选取真空态的需要，并且仍能提供量子状态空间的显式构造性描述，只要索引投影结构的标记集是可数的。由于不可数标记集在此背景下极不实用，我们在本文中发展了一种将原本不可数的标记集精简至可数基数的通用步骤。特别地，我们研究如何以保留可观测量代数的物理内容与对称性的方式执行此标记集的紧缩。这项工作的显著动机源于圈量子引力底层的全纯-通量代数。基于 Okolow [arXiv:1304.6330] 的早期工作，[arXiv:1411.3592] 中为该代数引入了投影状态空间。然而，全纯-通量代数的非平凡结构阻碍了令人满意的半经典态的构造。我们在该代数的一维版本中实施上述通用步骤，展示了如何提取一个离散子代数而不破坏普适性也不破坏微分同胚不变性。在此子代数上，可以构造这样的态：其半经典性被逐步强制实现，从集体宏观自由度开始，逐渐走向越来越小的尺度。