量子群的投影算子方法

在这些讲座中我们发展量子群的投影算子方法。这里术语“量子群”指的是有限增长反步李（超）代数的 q 变形泛包络代数。讲座内容可分为两部分。第一部分的基本片段为：根系的组合结构、Cartan-Weyl 基的 q 类比、任意有限增长反步李（超）代数的极值投影子和泛 R 矩阵。极值投影子和泛 R 矩阵的显式表达式是非交换 Cartan-Weyl 生成元的特殊 q 级数有序乘积。在第二部分我们考虑极值投影子的一些应用。这里我们使用投影算子方法发展量子代数 U_q(su(2)) 和 U_q(su(3)) 的 Clebsch-Gordan 系数理论。特别地，我们用与基本超几何级数相连的 U_q(su(2)) Wigner 3nj 符号，给出典范 U_q(su(3))\supset U_q(su(2)) Clebsch-Gordan 系数的一个非常紧凑的一般公式。然后我们应用投影算子方法构造 U_q(su(n)) 的 Gelfand-Tsetlin 基的 q 类比。最后利用量子代数 U_q(sl(2)) 的极值投影子 p(U_q(sl(2))) 与 $\delta(x)$ 函数之间的类比，我们引入“伴随极值投影子” p^{(n)}(U_q(sl(2)))（n=1,2,...），它们是极值投影子 p(U_q(sl(2))) 的某些推广，并且是 $\delta(x)$ 函数的导数 $\delta^{(n)}(x)$ 的类比。