对称群的投影公式与 Schur--Weyl--Jones 对偶的精细化

Schur--Weyl--Jones 对偶建立了对称群 $S_{n}$ 与分划代数 $P_{k}(n)$ 在张量空间 $\left(\mathbb{C}^n\right)^{\otimes k}$ 上交换作用之间的联系。我们给出其一种精细化，确定了 $\left(\mathbb{C}^n\right)^{\otimes k}$ 的一个子空间，在其上我们得到了对称群 $S_{n}$ 与 $S_{k}$ 的 Schur--Weyl 对偶的一个版本。利用该精细化，我们构造了 $\left(\mathbb{C}^n\right)^{\otimes k}$ 的与 $S_{n}\times S_{k}$ 的某些不可约表示同构的子空间。随后，我们利用对称群的 Weingarten 演算，得到了从 $\left(\mathbb{C}^n\right)^{\otimes k}$ 到各子空间的正交投影的显式公式。