有限阶旋转的乘积与量子门通用性

我们考虑两个有限阶量子 $SU(2)$ 门 $U_1$、$U_2$ 的乘积，并探究 $U_1\cdot U_2$ 何时具有无限阶。利用 $SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的双覆盖这一事实，我们实际研究了关于轴 $\vec{k}_1$、$\vec{k}_2\in \mathbb{R}^3$ 的两个旋转 $O(\phi,\vec{k}_1)\in SO(3)$ 和 $O(\phi,\vec{k}_2)\in SO(3)$ 的乘积 $O(\gamma,\vec{k}_{12})$。特别地，我们聚焦于 $\vec{k}_1\cdot\vec{k}_2=0$ 且 $\phi_1=\phi=\phi_2$ 为 $\pi$ 的有理数倍的情形，并证明除非 $\phi\in\{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb{Z}\}$，否则 $\gamma$ 不是 $\pi$ 的有理数倍。本文给出的证明归结为寻找满足 $\cos\frac{\gamma}{2}=\cos^2\frac{\phi}{2}$ 的所有数对 $\gamma,\phi\in \{a\pi : a\in\mathbb{Q}\}$。